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おぐえもん
情報系大学院の出身です♪Webサイトやチラシ、冊子などのデザインや、システム開発などの経験があります。音楽が好きで、渋谷系サウンドが好物です!

大学1年生もバッチリ分かる線形代数入門

【行列式編】連立方程式の解と行列式

こんにちは、おぐえもん(@oguemon_com)です。

前回の記事では、連立方程式の解を行列式で表現する式で、式の形こそ美しいものの計算量の多さからあまり実用的でない「クラメルの公式」というものを扱いました。

今回は、連立方程式の解について、行列式の値と紐付けながら考えていきます。ちなみに行列式編は今回でラストです!

目次(クリックで該当箇所へ移動)

行列式×連立方程式の解

ここでは、連立方程式の係数行列を扱いますが、行列式を導出できるように、係数行列は無理やり正方行列にした上で扱います。つまり、式の数と変数の数が異なるときは、数の多い方に合わせて、足りない部分に0を補い正方行列の形にします。

\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)について

連立1次方程式\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)が1組しか解を持たないことは、\(A\)が正則であること、すなわち\(A^{-1}\)が存在することと同値でした(この理由は以前の記事を参照あれ)。
そして、\(A\)が正則であることは、行列式\(|A|\)が\(0\)でないことと同値でもありました(これもまた以前の記事)を参照あれ)。

以上から、次のことが言えます。

連立1次方程式\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)の解が1組のみ\(\Longleftrightarrow |A| \neq 0\)

つまり、連立方程式の係数行列に対して、その行列式の値を求めることで解が1組か否かが判るわけです。
行列式\(|A|\)が\(0\)である場合は、「解の組が無数にある」か「解が存在しない」かの二択になります。

\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{o}\)について

先ほどよりも限定的な場合について考えましょう。同次連立1次方程式についても先ほどの理論が当てはまるので、解が1組であることと、\(|A| \neq 0\)であることは同値になります。
ここで、同次連立1次方程式は絶対に自明解\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{o}\)を持つことを考えると、同次連立1次方程式については、自明解の観点から次のことが言えます。

同次連立1次方程式\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{o}\)が自明解しか持たない\(\Longleftrightarrow |A| \neq 0\)

絶対に\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{o}\)を解として持つ性質より、\(|A| = 0\)の場合の可能性について、一般的な連立1次方程式と異なり、「解が存在しない」可能性を排除できるので、「解の組が無数にある」場合しか存在しないことになります。

よって、次のことも成り立ちます。

同次連立1次方程式\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{o}\)が非自明解を持つ\(\Longleftrightarrow |A| = 0\)

同次連立1次方程式の場合は、行列式の値から、解が1組なのか、はたまた無数なのかが判るのです。

おわり

以上の話から、行列式が0か否かというのは、対応する連立方程式の解の個数に大きく関わることがわかりました。

行列式は、計算の分量こそたくさんありますが、値の示唆する内容が多岐にわたるため、線形代数の幅広い場面で登場します。多分今後の記事でも行列式を扱うことになると思います。それではまた会いましょう(・3・)ノ。

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