【線形写像編】線形写像って何?"核"や"同型"と一緒に解説

こんにちは、おぐえもん(@oguemon_com)です。

前回の記事では、写像の基本に関する話をしました。

【線形写像編】写像の基礎(像・全単射・写像の合成)
【線形写像編】写像の基礎(像・全単射・写像の合成)
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今回からは、線型空間をターゲットにした議論が始まります。線形写像編のテーマである「線形写像」と、線形写像の中でも一定の条件を満たしたものである「同型写像」を扱います。

線形写像

ここでは、線型空間から線型空間への写像を考えます。このような写像の中で、一定の条件を満たすものを線形写像といいます。

線型写像

FF上の線型空間V,WV,Wに対して、写像f:VWf: V \rightarrow Wが定義されている。

ffが次の 2 条件をともに満たすとき、ffVVからWWへの線形写像と言う。

  1. 任意の2要素a,bV\mathbf{a}, \mathbf{b} \in Vに対して、次式が成立。 f(a+b)=f(a)+f(b)f(\mathbf{a} + \mathbf{b}) = f(\mathbf{a}) + f(\mathbf{b})
  2. 任意の要素aV\mathbf{a} \in Vと任意のスカラーλF\lambda \in Fに対して、次式が成立。 f(λa)=λf(a)f(\lambda\mathbf{a}) = \lambda f(\mathbf{a})

そして、この 2 つを併せ持つ性質を、線形性といいます。線形代数という科目は、線形性がテーマであり、それを持つものの性質を探るのが議論の対象でした。初回記事から 40 以上の記事を経て、ようやく線形代数の本質にたどり着きました!

線形写像の中でも、線型空間VVからVV自身へのもの(f:VVf: V \rightarrow V)は線形変換または1 次変換といいます。

線型空間には、零ベクトルという要素が存在しました。ある線形写像について、零ベクトルに対応する元の要素の集合をといいます。

線形写像f:VWf: V \rightarrow Wについて、f(a)=of(\mathbf{a}) = \mathbf{o}を満たすa\mathbf{a}の集合をVVffによるといい、Kerf\mathrm{Ker} fと書く。

Kerf\mathrm{Ker} fが集合VVの部分集合であることは定義から明らかですが、実はVVの部分空間でもあります

同型写像

線形写像の中でも全単射のものを同型写像と言います。

線形空間V,WV,Wに対して、写像f:VWf: V \rightarrow Wが線形写像でかつ全単射のとき、ffVVからWWの上の同型写像という。

同型写像をもつ 2 つの線型空間の関係性を表す同型という言葉があります。

線形空間V,WV,Wに対して、同型な写像f:VWf: V \rightarrow Wが存在するとき、VVWW同型であるといい、VWV \cong Wと書く。

ざっくり言うなら、同型な 2 つの線形空間は、線形空間としてほぼ同じものです。同型写像を用いることで、

  • 両者の要素は1対1に完全対応している
  • 和とスカラー倍の演算結果が両者で完全に対応している

状態を実現できるからです。

線形空間の理論は結局のところ、集合内の何らかの要素に対して和とスカラー倍をこねくりまわすことが原点にあります。上の 2 つを実現できる 2 集合は、線形空間として本質的に同じと言っても過言でないペアなのです。

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