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おぐえもん
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【線形写像編】線形写像の階数

こんにちは、おぐえもん(@oguemon_com)です。

前回の記事では、線形写像と絡む次元の性質を紹介しました。

【線形写像編】次元を絡めた性質と線形写像の階数

今回は、次元に基づいて定義される線形写像の階数を解説します。

線形写像の階数

行列に対して階数が定義されていましたが、階数は線形写像に対しても定義されます。

線形写像の階数

\(V, W\)は有限次元の線形空間とする。線形写像\(f: V \rightarrow W\)に対して、\(f\)の階数を次の通り定義する。

\[\mathrm{rank} f := \dim(\mathrm{Im} f)\]

行列の階数は、行列を階段行列に変形した時の段数でした。線形写像という抽象的な存在に対して階数というものを定義されてもイメージできねぇよ!とお思いのあなたに朗報です。結局のところ、線形写像の階数は、その表現行列の階数そのものなのです。線形写像と行列が繋がるなんて良くできてます。

\(V, W\)は有限次元の線形空間とする。線形写像\(f: V \rightarrow W\)の表現行列を\(A_f\)とすると、次式が成立する。

\[\mathrm{rank} f = \mathrm{rank} A_f\]

これは定義でなく、定理です。連立方程式の問題に帰着させることで、これを示せます。

\(V\)の次元を\(n\)とします。\(n = \dim(\mathrm{Im} f) + \dim(\mathrm{Ker} f)\)より、

$$ \begin{aligned}\dim(\mathrm{Ker} f) &= n – \dim(\mathrm{Im} f)\\ &=n – {\rm rank} f \end{aligned} $$

よって、\({\rm rank}f = {\rm rank}A_f\)を示すために、\(\mathrm{Ker} f\)の次元が、\(n – \mathrm{rank} A_f\)であることを示します。
\(V\)の基底を\(\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_n\)とすると、任意の要素\(\boldsymbol{a}\)を次のように表せます。

$$\boldsymbol{a} = x_1 \boldsymbol{a}_1 + \cdots + x_n \boldsymbol{a}_n$$

ここで、\(\boldsymbol{a}\)が\(\mathrm{Ker} f\)の要素であるための条件は\(f(\boldsymbol{a}) = \boldsymbol{o}\)の成立です。これを次々に変形します。\(\boldsymbol{b}_1, \cdots, \boldsymbol{b}_m\)は\(W\)の基底、\(a_{ij}\)は\(A_f\)の成分です)。

$$ \begin{aligned} f(x_1 \boldsymbol{a}_1 + \cdots + x_n \boldsymbol{a}_n) &= \boldsymbol{o} \\ x_1 f(\boldsymbol{a}_1) + \cdots + x_n f(\boldsymbol{a}_n) &= \boldsymbol{o} \\ x_1 \sum_{i=1}^m a_{1i}\boldsymbol{b}_i + \cdots + x_n \sum_{i=1}^m a_{ni}\boldsymbol{b}_i &= \boldsymbol{o} \\ (\sum_{j=1}^n x_j a_{j1}) \boldsymbol{b}_1 + \cdots + (\sum_{j=1}^n x_j a_{jm}) \boldsymbol{b}_m &= \boldsymbol{o} \end{aligned} $$

\(\boldsymbol{b}_1, \cdots, \boldsymbol{b}_m\)は一次独立なので、

$$\sum_{j=1}^n x_j a_{j1} = \cdots = \sum_{j=1}^n x_j a_{jm} = 0$$

これを展開すると次のようになります。

$$ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &= 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n &= 0 \\ \cdots &= \cdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n &= 0 \end{aligned} $$

ここで、\(\mathrm{Ker} f\)の要素\(\boldsymbol{a}\)と、列ベクトル\(\boldsymbol{x} = ^t[x_1, \cdots, x_n]\)を対応させると、\(\mathrm{Ker} f\)は、上の同次1次連立方程式\(A_f\boldsymbol{x}=\boldsymbol{o}\)の解空間(解の集合)と同型です。

解空間の次元は、\(n-\mathrm{rank} A\)です。同型なので、\(\mathrm{Ker} f\)の次元は解空間の次元と同じ\(n – \mathrm{rank} A_f\)です。ゆえに、\({\rm rank}f = {\rm rank}A_f\)です。

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