【行列式編】逆行列の求め方を画像付きで解説！

こんにちは、おぐえもん(@oguemon_com)です。

前回の記事では、行列（正方行列）の余因子について扱いました。今回は、行列式と余因子を用いて逆行列を求める方法について扱います。

目次（クリックで該当箇所へ移動）

余因子から逆行列を求める

逆行列の公式

余因子を用いると、逆行列は次の式で表されます。初見だとサッパリ分からないと思いますが、ご容赦くださいm(_ _)m

逆行列の公式

正方行列$A$が正則（逆行列をもつ）とき、逆行列$A^{-1}$について、
$$ \begin{eqnarray} A^{-1}&=&\frac{1}{|A|}{}^t[A_{ij}] \\ &=&\frac{1}{|A|} \left( \begin{array}{cccc} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{array} \right) \end{eqnarray} $$ここで、$A_{ij}$は、$i$行$j$列成分の余因子である。

余因子で構成されている行列が転置の形をしている、つまり行と列が反転している点に注意です！（$i$行$j$列成分の余因子は、$j$行$i$列に置きましょう）

この行列に$A$を掛け合わせてみましょう。$\frac{1}{|A|}$は一旦置いておき、行列部分のみの積を考えます。

この時、積の対角成分は、行列$A$に対する余因子展開の形になります。その値はズバリ余因子の元になった行列$A$の行列式$|A|$です。

一方で、対角でない成分は、「ある2つの行（or列）が等しい行列」に対する余因子展開の形になります。この値は、「2つの行（or列）が等しい行列」の行列式となります。行列式の性質から、値は0になります。

よって、この行列に$\frac{1}{|A|}$を掛け合わせると、単位行列$E$になります。したがって、上に記した逆行列の公式がきちんと成立していることが分かります。

ちなみに、$A$を掛け合わせる順番について言及しませんでしたが、どちらから掛け合わせても結果は単位行列になります（実際に確認してみよう！）。

行列が正則である条件

ここで、ある正方行列が正則である（逆行列）を持つための条件について触れます。

逆行列を持つか否かは、行列式の値を確認することで簡単に確かめられます。

行列が正則である条件

正方行列$A$が正則である$\Longleftrightarrow |A| \neq 0$

つまり、行列式が0であるかを確かめることで、逆行列を持つかが簡単にわかります！

理由は簡単。

正則$\Longrightarrow |A| \neq 0$

$A$が正則であるとき、$A^{-1}$が存在するので、行列式の性質より、
$$|A||A^{-1}|=|AA^{-1}|=|E|=1$$が成り立ちます。
2つのスカラーの積が0でないということは、掛け合わせている2つの値は共に0でないので、$|A| \neq 0$が言えます。

$|A| \neq 0 \Longrightarrow$正則

先ほど出てきた行列$\frac{1}{|A|}{}^t[A_{ij}]$が定義でき、これを左右のどちらから掛け合わせても$E$が導かれます。よって、逆行列を持つ、すなわち正則であると言えます。

逆行列を求める例

$$A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 4 \end{array} \right) $$の逆行列を求めましょう！

Step1:行列式を求める

そもそもこの行列が逆行列を持つのか確かめるため、まずは行列式を求めましょう。

どうせ後で余因子を全て求めることになることを見据えて、今回は、余因子展開を使って行列式を求めます。余因子展開の求め方については、前回の記事で扱いましたので、ここでは省略します。

さて、1行目の成分の余因子を全て求めてみました。
$$A_{11}=2, \ A_{12}=-2, \ A_{13}=1$$これより、$$|A|=1*2+2*(-2)+1*1=\underline{-1}$$です。ここで、$|A| \neq 0$が成り立つので、$A$は逆行列を持つことがわかりました。

Step2:余因子を求める

残り6つの余因子を全て求めます！これだけでも、逆行列を導く面倒さが感じられると思います。

余因子を全て求めるとこんな感じ（行列の形で値を表現しています。）
$$ \left( \begin{array}{ccc} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 2 & -2 & 1 \\ -5 & 3 & -1 \\ 7 & -4 & 1 \end{array} \right) $$

Step3:逆行列を求める

余因子を全て求める苦行を耐え抜いたら、逆行列は目の前です。上の公式にしたがって成分を置いていきましょう。
$$ \begin{eqnarray} A^{-1}&=&\frac{1}{-1}\left( \begin{array}{ccc} 2 & -5 & 7 \\ -2 & 3 & -4 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right) \\ &=&\left( \begin{array}{ccc} -2 & 5 & -7 \\ 2 & -3 & 4 \\ -1 & 1 & -1 \end{array} \right) \end{eqnarray} $$
くぅ〜、疲れましたwこれにて計算終了ですw