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おぐえもん
大学に通う理系学生です♪Webサイトやチラシ、冊子などのデザインや、システム開発などの経験があります。音楽が好きで、渋谷系サウンドが好物です!
たぶん今すぐ使えるテクニックから、きっと全く使えない豆知識まで。

【線形空間編】基底を変換する

行列を使ってある基底から別の基底を作る方法、基底を変換した時の成分同士の関係性について扱います。

おぐえもん

本カテゴリ
線形代数の要点などを見やすくまとめた、大学1回生・再履修したアホ向けの学習コンテンツ。おおよそ1年生前期〜後期の授業で学習する範囲を扱います。

こんにちは、おぐえもん(@oguemon_com)です。

前回の記事では、線形空間(ベクトル空間)の世界における基底や次元などの概念に関するお話をしました。

今回は、行列を使ってある基底から別の基底を作る方法について扱います。

それでは始めましょ〜!

目次(クリックで該当箇所へ移動)

基底の変換

ベクトル空間\(V\)の中にある基底は、行列のかけ算を利用することで他の基底に変換することができます。

ある基底を\(\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},…,\boldsymbol{a_n}\)に対して、行ベクトル\(A=[\boldsymbol{a_1} \ \boldsymbol{a_2} \ …
\ \boldsymbol{a_n}]\)を用意すると、ある\(n\)次正方行列\(P\)を右からかけた「\(AP\)」を計算することで、別の基底を作ることができるのです。

\(B=AP\)とすると、\(B\)は\(n\)列の列ベクトルとなり、\(B\)の成分について\(B=[\boldsymbol{b_1} \ \boldsymbol{b_2} \ … \ \boldsymbol{b_n}]\)とすると、\(\boldsymbol{b_1},\boldsymbol{b_2},…,\boldsymbol{b_n}\)は別の基底そのものになります。

つまり、\(P=[p_{ij}]\)とすると、新しい基底の\(j\)番目のベクトル\(\boldsymbol{b_j}\)を次の式(1次結合ですね)で作れると言うことなのです。

\begin{eqnarray}
\boldsymbol{b_j} &=& p_{1j}\boldsymbol{a_1} + p_{2j}\boldsymbol{a_2} + … + p_{nj}\boldsymbol{a_n}\\
&=& \sum_{i=1}^{n}p_{ij}\boldsymbol{a_i}
\end{eqnarray}

基底を変換できる行列の条件

基底をまとめた列ベクトルに、ある\(n\)次正方行列\(P\)を右からかけると、基底を変換することができます。
しかし、行列\(P\)はなんでも良いわけではありません。
\(n\)次正方行列であることはもちろんのこと、何より行列\(P\)は正則行列(逆行列をもつ行列)でなければなりません

正則行列じゃないとどうなるのかと言うと、積から手に入るベクトルの組が必ずしも基底であると言えなくなるのです。

以上のことを示すような関係性が証明されています。(証明は授業で聞いてね)

基底の変換と行列の正則の関係

線形空間\(V\)は、\(n\)個のベクトル\(\boldsymbol{a_1}\)〜\(\boldsymbol{a_n}\)を基底に持つ。この時、ある\(n\)次正方行列\(P=[p_{ij}]\)を用いて、次式のルールで\(n\)個のベクトル\(\boldsymbol{b_1}\)〜\(\boldsymbol{b_n}\)を生成する。
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{b_j} = \sum_{i=1}^{n}p_{ij}\boldsymbol{a_i}
\end{eqnarray}

以上の前提において次の関係が成立する。
「\(\boldsymbol{b_1}\)〜\(\boldsymbol{b_n}\)が\(V\)の基底である」\(\Leftrightarrow\)「行列\(P\)は正則である」

成分の変換

あるベクトルをある基底に関する成分で表現しているとき、これを別の基底で表現をすると成分の値にどのような変化が生まれるのか。この答えも「行列の掛け算」が持っています。

まず、線形空間\(V\)の基底\(\boldsymbol{a_1}\)〜\(\boldsymbol{a_n}\)に対して行列\(P\)を使った変換を経ることで、別の基底\(\boldsymbol{b_1}\)〜\(\boldsymbol{b_n}\)を作ることができることとします。

そして、線形空間\(V\)の中にある任意のベクトル\(\boldsymbol{a}\)について、基底\(\boldsymbol{a_1}\)〜\(\boldsymbol{a_n}\)に関する成分を、$$\boldsymbol{a} = (x_1,x_2,…,x_n)$$として、別の基底\(\boldsymbol{b_1}\)〜\(\boldsymbol{b_n}\)に関する成分を、$$\boldsymbol{a} = (y_1,y_2,…,y_n)$$とします。これはつまり、ベクトル\(\boldsymbol{a}\)は2種類の基底を用いて、それぞれ
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\boldsymbol{a} = x_1\boldsymbol{a_1}+x_2\boldsymbol{a_2}+…+x_n\boldsymbol{a_n}\\
\boldsymbol{a} = y_1\boldsymbol{b_1}+y_2\boldsymbol{b_2}+…+y_n\boldsymbol{b_n}
\end{array}
\right.$$の2通りで表すことができると言うことです。

この時、スカラー\(x_1\)〜\(x_n\)を縦に並べた列ベクトルを\(\boldsymbol{x}\)、同じくスカラー\(y_1\)〜\(y_n\)を縦に並べた列ベクトルを\(\boldsymbol{y}\)とすると、シグマを含む複雑な計算を経ることで、\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{y}\)の間に次式のような関係式を導くことができるのです。

変換の式

$$\boldsymbol{y}=P^{-1}\boldsymbol{x}$$

つまり、ある基底と、これに\(P\)を右からかけて作った別の基底がある時、ある基底に関する成分は、\(P\)の逆行列\(P^{-1}\)を左からかけることで、別の基底に関する成分に変換できるのです。(実際に計算して確かめよう)

ちなみに、上の式を変換の式と呼び、基底を変換する行列\(P\)のことを変換の行列と呼びます。

基底は横に並べた行ベクトルに対して行列を掛け算しましたが、成分は縦に並べた列ベクトルに対して掛け算します!これ間違えやすいので注意しましょう!(と言っても、行ベクトルに逆行列を左から掛けたら行ベクトルを作れないので計算途中で気づくと思います笑)

おわりに

今回は、線形空間における基底と次元のお話をし、あわせて基底を行列の力で別の基底に変換する方法についても学習しました。
次回の記事では、線形空間の中にある小さな線形空間(部分空間)のお話をしたいと思います!

線形空間の中の線形空間「部分空間」を解説!>>