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おぐえもん
大学に通う理系学生です♪Webサイトやチラシ、冊子などのデザインや、システム開発などの経験があります。音楽が好きで、渋谷系サウンドが好物です!
たぶん今すぐ使えるテクニックから、きっと全く使えない豆知識まで。

【行列式編】行列式って何?

線形代数において重要な役割を果たす「行列式」について、その簡単な説明と、2×2行列・3×3行列に対する行列式の定義を扱います。

おぐえもん

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線形代数解説の定番サイト。大学1年生どころか再履のアホでも分かる丁寧な説明が特長。1年生前期〜後期の授業で学ぶ範囲を扱います。

こんにちは、おぐえもん(@oguemon_com)です。

今回からは、行列式や逆行列についてのお話を進めます。連立方程式のお話については【連立方程式編】消去法と階段行列以降の記事をご覧ください。

さて、早速はじめましょう!!

目次(クリックで該当箇所へ移動)

行列式とは?

行列式は、行列の特徴を表す指標の1つです。行列なんて言いますが、方程式ではなく、「1」「3」みたいな数(スカラー)を取ります。
行列式の定義は結構複雑です。行列式の一般的な導き方については次回以降の記事で扱います。

行列式が最も活躍するのは、逆行列を導出する場面です。
おさらいしますが、逆行列とは、ある行列にかけることで、その行列を単位行列にしてしまう行列のことであり、連立1次方程式を一瞬で解くことができる(\(\boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b}\))など、行列を計算する上で非常に有益かつ重要な力を有します。
行列式は、そんな逆行列がそもそも存在するのかを確認することができる(行列式が0だと逆行列を持たない)他、逆行列の導出にも用いられます。

行列式の表記

行列\(A\)の行列式は、\(|A|\)や\({\rm det}(A)\)と表します。「det」は、行列式の英語に当たる”determinant”に由来します。
どちらを使用しても構いませんが、以降では、\(|A|\)の方を使用します。

行列式の定義(ミニサイズの行列用)

はじめに断っておきますが、行列式は正方行列に対してのみ定義されます。よって、以降では基本的に正方行列のみ扱うこととします。

行列式の定義は、一般的な\(n\)行\(n\)列行列に対して説明するとかなり複雑になるので、今後いくつかのステップを経て展開することになります。
今回は、’さわり’なので、定義が比較的簡単である2次正方行列と3次正方行列の場合について説明します。

2次正方行列の行列式

かなり簡単です。
$$
A=\left(
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}
\right)
$$について、
$$|A|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$と定義されます。「(左上×右下)-(右上×左下)」ですね。

【例】次の行列の行列式を求めます。
$$B=\left(
\begin{array}{cc}
3 & 2 \\
5 & 4
\end{array}
\right)$$について、\(|B|=3*4-2*5=12-10=\underline{2}\)です。

3次正方行列の行列式

次数が1つ増えただけなのに、かなり複雑になります…
$$
A=\left(
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}
\right)
$$について、
$$\begin{array}{rr}
|A|=&a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\\
&-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}
\end{array}$$と定義されます。

式で表すと複雑すぎるので、次の図で表現される場合も多々あります。

【例】次の行列の行列式を求めます。
$$C=\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 3 & 2 \\
5 & 4 & 6 \\
8 & 9 & 7
\end{array}
\right)$$について、
$$
\begin{eqnarray}
|C|&=&(1*4*7)+(3*6*8)+(2*5*9)\\
&&-(2*4*8)-(3*5*7)-(1*6*9)\\
&=&28+144+90-64-105-54\\
&=&\underline{39}
\end{eqnarray}$$と定義されます。

最後に

今回は、行列式の概要と、簡単な行列に対する行列式の定義について扱いました。次回以降では、行列式を導くために必要な「置換」という概念などに関する説明を進めることで、\(n\)行\(n\)列行列の行列式の定義に迫ります。