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おぐえもん
情報系大学院の出身です♪Webサイトやチラシ、冊子などのデザインや、システム開発などの経験があります。音楽が好きで、渋谷系サウンドが好物です!

大学1年生もバッチリ分かる線形代数入門

行列式って何?

こんにちは、おぐえもん(@oguemon_com)です。

今回からは、行列式や逆行列についてのお話を進めます。連立方程式のお話については【連立方程式編】消去法と階段行列以降の記事をご覧ください。

【連立方程式編】消去法と階段行列

さて、早速はじめましょう!!

目次(クリックで該当箇所へ移動)

行列式とは?

行列式は、行列の特徴を表す指標の1つです。行列なんて言いますが、方程式などではなく、スカラーです。つまり、「1」「3」みたいな値をとります。
行列式の定義は結構複雑です。この記事では2次と3次の行列の例に留め、一般的な定義については次回以降の記事で扱います。

【行列式編】行列式の定義

行列式が最も活躍するのは、逆行列を導出する場面です。
逆行列とは、ある行列にかけることで、その行列を単位行列にしてしまう行列のことです。逆行列は、連立1次方程式を一瞬で解くことを可能にするなど、行列計算の上で非常に有益かつ重要な力を有します。

行列式は、逆行列の導出に必要な値です。そして、行列式の値から、逆行列がそもそも存在するのかを確認することができます。

おぐえもん

行列式の値が0か否かで、逆行列を持たないかどうかが分かります。

行列式の表記

行列\(A\)の行列式は、\(|A|\)や\({\rm det}(A)\)と表します。「det」は、行列式の英語に当たる”determinant”に由来します。
どちらを使用しても構いませんが、以降では、\(|A|\)の方を使用します。

行列式の定義(ミニサイズの行列用)

まず、行列式は正方行列に対してのみ定義されます。よって、以降では基本的に正方行列のみ扱うこととします。

行列式の定義は、一般的な\(n\)行\(n\)列行列に対して説明するとかなり複雑になるので、今後いくつかの記事を経て展開することになります。
今回は、’さわり’なので、定義が比較的簡単である2次正方行列と3次正方行列の場合について説明します。

2次正方行列の行列式

かなり簡単です。

$$
A=\left(
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}
\right)
$$について、
$$|A|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$

つまり、「(左上×右下)-(右上×左下)」ですね。

【例】次の行列の行列式を求めます。
$$B=\left(
\begin{array}{cc}
3 & 2 \\
5 & 4
\end{array}
\right)$$について、\(|B|=3*4-2*5=12-10=\underline{2}\)です。

3次正方行列の行列式

次数が1つ増えただけなのに、かなり複雑になります…

$$
A=\left(
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}
\right)
$$について、
$$\begin{array}{rr}
|A|=&a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\\
&-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}
\end{array}$$

式で表すと複雑すぎるので、次の図で表現される場合も多々あります。

【例】次の行列の行列式を求めます。
$$C=\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 3 & 2 \\
5 & 4 & 6 \\
8 & 9 & 7
\end{array}
\right)$$について、
$$
\begin{eqnarray}
|C|&=&(1*4*7)+(3*6*8)+(2*5*9)\\
&&-(2*4*8)-(3*5*7)-(1*6*9)\\
&=&28+144+90-64-105-54\\
&=&\underline{39}
\end{eqnarray}$$と定義されます。

最後に

今回は、行列式の概要と、簡単な行列に対する行列式の定義について扱いました。次回以降では、行列式を導くために必要な「置換」という概念などに関する説明を進めることで、\(n\)行\(n\)列行列の行列式の定義に迫ります。

【行列式編】置換と巡回置換

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