【行列式編】行列式の定義

2017年2月13日作成2018年6月25日更新

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こんにちは、おぐえもん(@oguemon_com)です。

前回の記事で置換についてバッチリ学習できたと思います。いよいよ行列式の定義について扱いたいと思います。

行列式の定義

行列式の定義は、置換の概念がふんだんに用いられた形になっています。

定義は次の通り。

行列式の定義

$n$ 次の正方行列 $A=[a_{ij}]$ について、行列式 $|A|$ は以下の式で定義される。

|A|=\sum_{\sigma \in S_n}{\rm sgn}(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)}

ただし $S_n$ は $n$ 文字の置換（全 $n!$ 通り）の集合である。

簡単に言えば、こんな感じ。

まだ分かりにくいと思うので、例を示します。

超シンプルに、2次の正方行列を例に挙げます。

A=\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right)

まずは、全ての置換を列挙します。2文字の置換は $2!=2$ 通り。以下の二つです。

\sigma_1 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} \right), \ \sigma_2 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right)

ここで、 $\sigma_1$ は偶置換、 $\sigma_2$ は奇置換ですので、両者の符号は

{\rm sgn}(\sigma_1)=1, \ {\rm sgn}(\sigma_2)=-1

ですよね。偶（奇）置換や、置換の符号については前回の記事をご覧あれ。

さて、行列式を求めていきましょう。

置換 $\sigma_1$ から手をつけます。 $\sigma_1$ では、

\sigma(1)=1, \ \sigma(2)=2

ですので、1行1列成分の「 $a_{11}$ 」と、2行2列成分の「 $a_{22}$ 」を掛け合わせます。（ $a_{11}a_{22}$ ）。

置換 $\sigma_1$ の符号は $\underline{1}$ なので、 $\underline{+a_{11}a_{22}}$ ですね。

次に置換 $\sigma_2$ を扱います。 $\sigma_2$ では、

\sigma(1)=2, \ \sigma(2)=1

でしたので、1行2列成分の「 $a_{12}$ 」と、2行1列成分の「 $a_{21}$ 」を掛け合わせます（ $a_{12}a_{21}$ ）。

置換 $\sigma_2$ の符号は $\underline{-1}$ なので、 $\underline{-a_{12}a_{21}}$ ですね。

以上から、

\begin{aligned} |A| &={\rm sgn}(\sigma_1)a_{1\sigma_1(1)}a_{2\sigma_1(2)}+{\rm sgn}(\sigma_2)a_{1\sigma_2(1)}a_{2\sigma_2(2)} \\ &=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \end{aligned}

が導かれました。

これは以前の記事で扱った 2 次正方行列における行列式の定義と同じです。以前に与えた「公式」たちは、こういった複雑な定義に基づき導かれたものだったのです。

余力がある人は 3 次正方行列の行列式も導いてみましょう！（前回の記事で扱った例が役に立ちます！）

足し引きされる項の数は、全部で $n!$ 個です。これは、置換の総数から明らかですね。
足す項と引く項は同数です。これは、 $n$ 文字の置換の総パターンの中で、奇置換と偶置換が同数だからです。
足し引きされる項のそれぞれは、絶対に 「ある行から1つ」かつ「ある列から1つ」の成分を掛け算したものになっています。 つまり、同じ行または同じ列の2成分を掛け合わすことはありません（ $a_{12}a_{22}$ みたいな項は現れない）。これは、これから扱う行列式の性質をイメージする上で重要です！！

行列式の定義については以上です。次回は、行列式の性質について説明したいと思います。