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おぐえもん
大学に通う理系学生です♪Webサイトやチラシ、冊子などのデザインや、システム開発などの経験があります。音楽が好きで、渋谷系サウンドが好物です!
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【行列式編】行列式の定義

全ての正方行列に当てはまる行列式の定義について扱います。具体的な例も示しました!

おぐえもん

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こんにちは、おぐえもん(@oguemon_com)です。

前回の記事で置換についてバッチリ学習できたと思います。いよいよ行列式の定義について扱いたいと思います。

目次(クリックで該当箇所へ移動)

行列式の定義

行列式の定義は、置換の概念がふんだんに用いられた形になっています。
定義は次の通り。

行列式の定義

\(n\)次の正方行列\(A=[a_{ij}]\)について、行列式\(|A|\)は以下の式で定義される。
$$
|A|=\sum_{\sigma \in S_n}{\rm sgn}(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)}
$$ただし\(S_n\)は\(n\)文字の置換(全\(n!\)通り)の集合である。

簡単に言えば、こんな感じ。

  1. ある置換を用意します。
  2. 置換の上行を行番号に、下行を列番号に対応付けます。(\(i\)行\(\sigma(i)\)列成分を探す)
  3. 対応付けで特定された\(n\)個の成分(\(a_{1\sigma(i)}\)〜\(a_{n\sigma(n)}\))を掛け合わせます。
  4. 用意した置換の符号を掛け合わせます。(奇置換→マイナス/偶置換→プラスを付ける)
  5. 以上の作業を全ての置換に対して行います。

まだ分かりにくいと思うので、例を示します。

行列式を求める例

超シンプルに、2次の正方行列を例に挙げます。
$$
A=\left(
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}
\right)
$$まずは、全ての置換を列挙します。2文字の置換は\(2!=2\)通り。以下の二つです。
$$
\sigma_1 = \left(
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
1 & 2
\end{array}
\right), \
\sigma_2 = \left(
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 & 1
\end{array}
\right)
$$ここで、\(\sigma_1\)は偶置換、\(\sigma_2\)は奇置換ですので、両者の符号は
$${\rm sgn}(\sigma_1)=1, \ {\rm sgn}(\sigma_2)=-1$$ですよね。偶(奇)置換や、置換の符号については前回の記事をご覧あれ。
さて、行列式を求めていきましょう。

置換\(\sigma_1\)から手をつけます。\(\sigma_1\)では、
$$\sigma(1)=1, \ \sigma(2)=2$$ですので、1行1列成分の「\(a_{11}\)」と、2行2列成分の「\(a_{22}\)」を掛け合わせます。(\(a_{11}a_{22}\))。
置換\(\sigma_1\)の符号は\(\underline{1}\)なので、\(\underline{+a_{11}a_{22}}\)ですね。

次に置換\(\sigma_2\)を扱います。\(\sigma_2\)では、
$$\sigma(1)=2, \ \sigma(2)=1$$でしたので、1行2列成分の「\(a_{12}\)」と、2行1列成分の「\(a_{21}\)」を掛け合わせます(\(a_{12}a_{21}\))。
置換\(\sigma_2\)の符号は\(\underline{-1}\)なので、\(\underline{-a_{12}a_{21}}\)ですね。

以上から、$$
\begin{eqnarray}
|A|&=&{\rm sgn}(\sigma_1)a_{1\sigma_1(1)}a_{2\sigma_1(2)}+{\rm sgn}(\sigma_2)a_{1\sigma_2(1)}a_{2\sigma_2(2)} \\
&=&a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{eqnarray}$$が導かれました。
これは以前の記事で扱った2次正方行列における行列式の定義と同じです。以前に与えた「公式」たちは、こういった複雑な定義に基づき導かれたものだったのです。
余力がある人は3次正方行列の行列式も導いてみましょう!(前回の記事で扱った例が役に立ちます!)

行列式について押さえておくと捗ること

  • 足し引きされる項の数は、全部で\(n!\)個です。これは、置換の総数から明らかですね。
  • 足す項と引く項は同数です。これは、\(n\)文字の置換の総パターンの中で、奇置換と偶置換が同数だからです。
  • 足し引きされる項のそれぞれは、絶対に「ある行から1つ」かつ「ある列から1つ」の成分を掛け算したものになっています。つまり、同じ行または同じ列の2成分を掛け合わすことはありません(\(a_{12}a_{22}\)みたいな項は現れない)。これは、これから扱う行列式の性質をイメージする上で重要です!!

おわり

行列式の定義については以上です。次回は、行列式の性質について説明したいと思います。