【行列式編】互換の求め方と置換の符号
大学1年生もバッチリ分かる線形代数入門

【行列式編】互換の求め方と置換の符号

前回の記事では、置換と巡回置換について解説しました。

今回は、置換の一つである「互換」というものを扱い、「置換の符号」というものの求め方に迫ります！

これが分かれば行列式の定義を理解できますよ！

今回の記事は、行列の「置換」について理解していないとワケワカメです。置換を予習したい方は、まずは次の記事ご覧ください！

【行列式編】置換と巡回置換
【行列式編】置換と巡回置換
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互換

互換とは

巡回置換の中でも、特に長さが 2 のものを互換と言います。

互換

長さが 2 の巡回置換を互換と言い、(s t)(s \ t)で表す。

(s t)=(stts)(s \ t)=\left( \begin{array}{cc} s&t\\ t&s \end{array} \right)

例えば、前の記事で扱った巡回置換(2 5)(2 \ 5)は、長さが 2 なので互換です。おめでとうございます。

互換の積

実は、巡回置換には「どんな巡回置換も互換の積で表せられる」という性質があります。

巡回置換→互換の積

巡回置換σ=(i1 i2 ⋯ im)\sigma=(i_1 \ i_2 \ \cdots \ i_m)について、

σ=(i1 i2 ⋯ im)=(i1 im)(i1 im−1)⋯(i1 i4)(i1 i3)(i1 i2)\begin{aligned} \sigma &=(i_1 \ i_2 \ \cdots \ i_m) \\ &=(i_1 \ i_m)(i_1 \ i_{m-1}) \cdots (i_1 \ i_4)(i_1 \ i_3)(i_1 \ i_2) \end{aligned}

が成立する。すなわち、任意の巡回置換は互換の積で表せる。

これは、実際に積を確かめてみればわかると思います。例えば、i2i_2は、右上から辿っていくと「i2→i1→i3i_2 \rightarrow i_1 \rightarrow i_3」となりますが、右から3つ目より左にはi3i_3を含む互換がないため、「i2→i3i_2 \rightarrow i_3」の対応確定が確定します。i1i_1や、i3i_3以降についても同様の方法で確かめられます。

一応、例を置いておきますね。

(2 5 4 1)=(2 1)(2 4)(2 5)(2 \ 5 \ 4 \ 1)=(2 \ 1)(2 \ 4)(2 \ 5)

ちなみに、互換の積の表し方は複数あります！

例えば、(2 5 4 1)(2 \ 5 \ 4 \ 1)だけでも

(2 5 4 1)={(2 1)(2 4)(2 5)(1 4)(1 5)(1 2)(2 1)(5 1)(2 4)(5 1)(2 5)(5 1)(1 2)(5 4)(2 1)(5 2)など...(2 \ 5 \ 4 \ 1)=\left\{ \begin{array}{l} (2 \ 1)(2 \ 4)(2 \ 5)\\ (1 \ 4)(1 \ 5)(1 \ 2)\\ (2 \ 1)(5 \ 1)(2 \ 4)(5 \ 1)(2 \ 5)\\ (5 \ 1)(1 \ 2)(5 \ 4)(2 \ 1)(5 \ 2)\\ \text{など...} \end{array} \right.

という風にたくさんの表し方で書くことができます。（1行目は上の公式通り、2行目以降は自力で探しました…汗）

奇置換と偶置換

先述の通り、巡回置換は互換の積で複数通りの表現ができます。これに関する重要な性質があります。ある巡回互換を表現するとき、いかなる表現であれ掛け合わせる互換の数の奇偶が揃うのです。

巡回置換の表現に用いる互換の数の奇偶

ある巡回置換(i1 i2 ⋯ im)(i_1 \ i_2 \ \cdots \ i_m)を互換の積で表現するとき、その表現の仕方に関わらず、積に用いる互換の個数の奇偶が一致する。

例は先ほどのものをご覧ください。(2 5 4 1)(2 \ 5 \ 4 \ 1)を互換の積で表したとき、互換の個数は3個・5個と奇数ばかりでした。これは、今回挙げた巡回置換の例では、互換を奇数個使わないとそもそも積として表現できなかったからです。

さて、置換は複数の巡回置換の積で表せました。そして、巡回置換は複数の互換の積で表せるのでした。よって、どんな置換も複数の互換で表せることが言えます。巡回置換に用いる積の個数の奇偶は常に同じなので、ある置換を互換の積で表現するときに用いる互換の個数も、その表わし方によらず奇偶が同じです。

この性質を使うと、置換は「偶数個の互換の積で表されるもの」「奇数個の互換の積で表されるもの」の２つにグループ分けできます。

奇置換と偶置換
  • 奇置換：奇数個の互換の積で表される置換
  • 偶置換：偶数個の互換の積で表される置換

例として、前回の記事の冒頭に登場した次の置換を考えます。

σ=(1234543251)\sigma=\left( \begin{array}{ccccc} 1&2&3&4&5 \\ 4&3&2&5&1 \end{array} \right)

この置換は「1→4→5→1」「2→3→2」という 2 つの巡回置換が見られます。よって、次のように表されます。

σ=(1 4 5)(2 3)\sigma=(1 \ 4 \ 5)(2 \ 3)

ここで、(1 4 5)=(1 5)(1 4)(1 \ 4 \ 5)=(1 \ 5)(1 \ 4)より、(1 4 5)(1 \ 4 \ 5)は 2 つの互換の積で表されます。

また(2 3)(2 \ 3)は元から互換なので、σ\sigmaは 3 つの互換の積で表されることになります。

σ=(1 5)(1 4)(2 3)\sigma=(1 \ 5)(1 \ 4)(2 \ 3)

よって、σ\sigmaは奇置換です！

置換の符号

置換の符号の定義

置換には符号というものが定義されます。符号と言いつつスカラーの値です。そのルールは以下の通り。

置換の符号

ある置換σ\sigmaの符号をsgn(σ){\rm sgn}(\sigma)と表し、これを以下のように定義する。

sgn(σ)={−1(σが奇置換)1(σが偶置換){\rm sgn}(\sigma)=\left\{ \begin{array}{cl} -1 & (\sigma\text{が奇置換})\\ 1 & (\sigma\text{が偶置換}) \end{array} \right.

すなわち、σ\sigmaがmm個の互換の積で表されるとき、

sgn(σ)=(−1)m{\rm sgn}(\sigma)=(-1)^m

である。

行列式の定義を説明するために欲しかったのはこれです！！これでノルマ達成。本当お疲れ様です！！

置換の符号の例

定義だけ述べて終わるのもなんなので、最後にどっと例を示します。

(1 2 3)(1 \ 2 \ 3)から生み出すことのできる3!=63!=6種類の置換です。

(1)(123123), (2)(123132)(1)\left( \begin{array}{ccc} 1&2&3 \\ 1&2&3 \end{array} \right), \ (2)\left( \begin{array}{ccc} 1&2&3 \\ 1&3&2 \end{array} \right) (3)(123213), (4)(123231)(3)\left( \begin{array}{ccc} 1&2&3 \\ 2&1&3 \end{array} \right), \ (4)\left( \begin{array}{ccc} 1&2&3 \\ 2&3&1 \end{array} \right) (5)(123312), (6)(123321)(5)\left( \begin{array}{ccc} 1&2&3 \\ 3&1&2 \end{array} \right), \ (6)\left( \begin{array}{ccc} 1&2&3 \\ 3&2&1 \end{array} \right)

(1)

単位置換じゃんって感じですが、強いていうなら「(1 2)(1 2)(1 \ 2)(1 \ 2)」と表すことができます。よって偶置換。符号は11です。

(2)

以下の式より奇置換。符号は−1-1です。

(123132)=(2332)=(2 3)\begin{aligned} \left( \begin{array}{ccc} 1&2&3 \\ 1&3&2 \end{array} \right) &=\left( \begin{array}{cc} 2&3 \\ 3&2 \end{array} \right) \\ &= (2 \ 3) \end{aligned}

(3)

以下の式より奇置換。符号は−1-1です。

(123213)=(1221)=(1 2)\begin{aligned} \left( \begin{array}{ccc} 1&2&3 \\ 2&1&3 \end{array} \right) &=\left( \begin{array}{cc} 1&2 \\ 2&1 \end{array} \right) \\ &= (1 \ 2) \end{aligned}

(4)

以下の式より偶置換。符号は11です。

(123231)=(1 2 3)=(1 3)(1 2)\begin{aligned} \left( \begin{array}{ccc} 1&2&3 \\ 2&3&1 \end{array} \right) &= (1 \ 2 \ 3) \\ &= (1 \ 3)(1 \ 2) \end{aligned}

(5)

以下の式より偶置換。符号は11です。

(123312)=(1 3 2)=(1 2)(1 3)\begin{aligned} \left( \begin{array}{ccc} 1&2&3 \\ 3&1&2 \end{array} \right) &= (1 \ 3 \ 2) \\ &= (1 \ 2)(1 \ 3) \end{aligned}

(6)

以下の式より奇置換。符号は−1-1です。

(123321)=(1331)=(1 1)\begin{aligned} \left( \begin{array}{ccc} 1&2&3 \\ 3&2&1 \end{array} \right) &=\left( \begin{array}{cc} 1&3 \\ 3&1 \end{array} \right) \\ &= (1 \ 1) \end{aligned}

こうして見ると、奇置換が 3 つ、偶置換も 3 つになりました。

nn文字の置換は全部でn!n!通りありましたが、その中で奇置換と偶置換が同数であることが知られています。

おわり

以上で行列式の定義に必要な知識は全て揃いました。次回は行列式の一般的な定義に迫ります！

【行列式編】行列式の定義
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