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おぐえもん
大学に通う理系学生です♪Webサイトやチラシ、冊子などのデザインや、システム開発などの経験があります。音楽が好きで、渋谷系サウンドが好物です!
たぶん今すぐ使えるテクニックから、きっと全く使えない豆知識まで。

【線形空間編】ベクトルの内積と直交

線形空間におけるベクトルの内積、大きさ、なす角の話をします。どれも高校までのベクトルとはその定義が大きく異なるので注意しましょう!

おぐえもん

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線形代数解説の定番サイト。大学1年生どころか再履のアホでも分かる丁寧な説明が特長。1年生前期〜後期の授業で学ぶ範囲を扱います。

こんにちは、おぐえもん(@oguemon_com)です。

前回の記事では、線形空間の中にある小さな線形空間、部分空間について解説しました。

今回は少し話が変わりますが、線形空間における内積などの話をしたいと思います。今回の記事は、スカラー倍に実数のみを用いる「実線形空間」が前提なので注意してくださいね!

目次(クリックで該当箇所へ移動)

内積のある線形空間

まず、内積というものは全ての線形空間に用意されているわけではありません。内積は人から与えられるものじゃなくて自分で作るするもんなんだよ!

線形空間の中でも、内積が定義されているものを、計量線形空間と呼びます。これから先は計量線形空間を前提において線形空間の話をします。

ベクトルの内積と大きさ

ベクトルの内積

内積は自分で定義するものなのですが、ある演算を「内積」と認めるためにはいくつかの条件をクリアしなければなりません。その条件についてここでは扱います。

まず、内積は、実線形空間\(V\)において定義されるものであり、\(V\)の中の2つのベクトルを与えると1つの実数を定めることができるのが前提です。その中で、定まった結果に一定の性質が存在するものが初めて内積となるわけです。

ベクトルの内積

\(V\)は実線形空間であり、\(V\)の中の任意のベクトル\(\boldsymbol{a}\)と\(\boldsymbol{b}\)に対して、実数\((\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})\)が定まる上に、次の4条件を全て満たすとき、\((\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})\)を\(\boldsymbol{a}\)と\(\boldsymbol{b}\)の内積と呼ぶ。

  1. 順序を入れ替えても結果は変わらない。$$(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=(\boldsymbol{b},\boldsymbol{a})$$
  2. ベクトルの分配法則がある。$$(\boldsymbol{a_1}+\boldsymbol{a_2},\boldsymbol{b})=(\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{b})+(\boldsymbol{a_2},\boldsymbol{b})$$
  3. スカラー倍の計算順序を問わない。$$(\lambda\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=\lambda(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})$$
  4. 同じベクトルを与えると負にならない。(等号成立は\(\boldsymbol{a}=\boldsymbol{o}\)のときのみ)$$(\boldsymbol{a},\boldsymbol{a}) \geq 0$$

今までも内積を扱ってきましたし、ドヤ顔で内積のルールを教えてきました。しかし、今までの内積はあくまで上に掲げた「線形空間の内積」の条件を満たす1計算ルールに過ぎません。本来、内積の計算ルールなんて上の条件さえ満たせばなんでも良いのです。

ベクトルの大きさ

ベクトルの大きさは、ベクトルの内積から定義されます。

ベクトルの大きさ(長さ)

計量ベクトル空間の任意のベクトル\(\boldsymbol{a}\)に対して、$$\sqrt{(\boldsymbol{a},\boldsymbol{a})}$$をベクトル\(\boldsymbol{a}\)の大きさ(または長さ)と呼び、\(|\boldsymbol{a}|\)と表記する。

高校などで習った空間ベクトルの単元では、内積は2つのベクトルの大きさとなす角のかけ算って習いましたが、本来は内積があって初めて大きさが分かるのです。ないせきが先、大きさが後(みつを並感)

ちなみに、ベクトルの大きさには次に掲げる性質があります。

ベクトルの大きさの性質
  1. \(|\boldsymbol{a}| \geq 0\) (等号成立は\(\boldsymbol{a}=\boldsymbol{o}\)のときに限る)
  2. \(|\lambda\boldsymbol{a}|=|\lambda||\boldsymbol{a}|\) (ただし、\(\lambda\)は任意の実数)
  3. \(|(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})| \leq |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\) (コーシー=シュワルツの不等式と呼ぶ)
  4. \(|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| \leq |\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|\) (三角不等式と呼ぶ)

内積の例

例1

\(n\)個の実数を1列に並べた「\(n\)次元数線形空間」の中にある2つのベクトル\(\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,…,a_n)\)と\(\boldsymbol{b}=(b_1,b_2,…,b_n)\)について、次式の計算ルールを定めると、これは内積の条件を満たすので内積と言えます(実際に確かめてみよう!)。$$(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n$$この形、空間ベクトルの成分を使った内積の式とほぼ同じですよね?この内積は空間ベクトルにおける幾何学的な考察から自然に得られるルールですので、\(n\)次元数線形空間上で定義できる内積の中でも、特に自然な内積と呼ばれ、超メジャーな立ち位置にいます。

ちなみに、\(|\boldsymbol{a}|=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+…+{a_n}^2}\)となります。

例2

区間\([-1,1]\)で連続な関数全体は線形空間です。ここで、2つの関数\(f\)と\(g\)に対して次式の計算ルールを定めると、これは内積の条件を満たすので内積と言えます。$$(f,g)=\int_{-1}^1 f(x)g(x) dx$$このとき、大きさ\(|f|\)は次式で表されます。$$|f|=\sqrt{\int_{-1}^1 (f(x))^2 dx}$$ある領域内で連続な関数全体が線形空間となること、そして関数同士のかけ算の積分が内積になることは高校までのベクトル観では信じにくいですよね?しかし、それぞれ線形空間・内積の条件を満たしているので、しっかり線形空間・内積なのです。

なす角と直交

2ベクトルのなす角

ベクトルの大きさの性質で取り上げたコーシー=シュワルツの不等式から内積の絶対値を外して式を変形することで、線形空間\(V\)内のベクトル\(\boldsymbol{a}\)と\(\boldsymbol{b}\)がともに零ベクトルでない場合において、次の不等式が成り立つことがわかります。$$-1 \leq \frac{(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|} \leq 1$$範囲が、-1から1までということは、「\(\cos \theta\)」を引っ張ってくることで、上式の値と、\(\theta\)の値を\(0 \leq \theta \leq \pi\)の範囲で一対一対応させることができます。ここで対応する\(\theta\)のことを\(\boldsymbol{a}\),\(\boldsymbol{b}\)のなす角として定義します。

2ベクトルのなす角

$$\cos\theta = \frac{(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}$$を満たす\(\theta\) (\(0 \leq \theta \leq \pi\))を\(\boldsymbol{a}\),\(\boldsymbol{b}\)のなす角とする。

高校で習ったベクトルでは、長さとなす角ありきで内積が導かれてましたが、線形空間の世界では、内積ありきで長さが導かれ、さらに内積と長さがあってはじめてなす角を求めることができるのです。

ちなみに、2ベクトルのどちらか一方が零ベクトルならば、なす角は定義しないこととします。

直交

内積が0だったら、2ベクトルは互いに直交するといいます。ここで、注意して欲しいのは、2ベクトルが直交するとき、必ずしもベクトル同士が直角に交わっているとは限らないということです。その例が、零ベクトルを含む2ベクトルです。両者は、なす角こそ定義されませんが、内積が必ずゼロになるので互いに直交します。

2ベクトルの直交

線形空間\(V\)内にある2つのベクトル\(\boldsymbol{a}\)と\(\boldsymbol{b}\)が次式を満たすとき、\(\boldsymbol{a}\)と\(\boldsymbol{b}\)は互いに直交するという。$$(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=0$$

また、線形空間\(V\)の中にある\(r\)個のベクトル\(\boldsymbol{a_1}\)〜\(\boldsymbol{a_r}\)について、どんな異なる2ベクトルを選んでも互いに直交するならば、\(\boldsymbol{a_1}\)〜\(\boldsymbol{a_r}\)を直交系であるといいます。

おわりに

今回は、2つのベクトルを使った演算「内積」について、そのルールを再定義しました。
次回の記事では、「正規直交基底」と呼ばれる特別な基底について解説します。

正規直交基底と直交行列>>