【固有値編】フロベニウスの定理を計算例付きで徹底解説

こんにちは、おぐえもん(@oguemon_com)です。

前回の記事では、ケーリー・ハミルトンの定理について、勘違いしやすいポイントを交えて解説しました。

今回は、ケーリー・ハミルトンの定理と同じく、三角化の概念を用いて成立の理由を追及することができるフロベニウスの定理を解説します！

フロベニウスの定理とは？

ある多項式に行列を代入してできた行列の固有値は、行列の固有値を同じ多項式に代入した時に得られる値だよって旨の定理です。

定理が成り立つ理由

この定理は、三角化を利用することで成り立つ理由を確かめることができます。

まず、任意の正方行列は三角化できます。つまり次の式が成り立つ適当な行列$P$を選ぶことができます。

$$P^{-1}AP = \left[ \begin{array}{cccc} \lambda_{1} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ 0 & \lambda_{2} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & \lambda_{n} \end{array} \right]$$

ここで、$\lambda_{1}$ 〜 $\lambda_{n}$は$A$の固有値です。

さて、次は、$P^{-1}f(A)P$を変形します。

$$\begin{aligned} P^{-1}f(A)P &= P^{-1}(a_0A^n+a_1A^{n-1}+\cdots+a_nE)P \\ &= a_0P^{-1}A^nP+a_1P^{-1}A^{n-1}P+\cdots+a_nE \\ &= a_0(P^{-1}AP)^n+a_1(P^{-1}AP)^{n-1}+\cdots+a_nE \\ &= f(P^{-1}AP) \end{aligned}$$

2行目から3行目にかけて、$P^{-1}A^nP=(P^{-1}AP)^n$を用いた変形がなされています。この等式は次のようなイメージで成立を理解できると思います。

ところで、三角行列を$n$乗したとき、その対角成分は、元の成分の$n$乗となります（もちろん右上の成分は全然違う値になります）。実際に計算すると成り立つことがわかります。

$$\left[ \begin{array}{cccc} \underline{\lambda_{1}} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ 0 & \underline{\lambda_{2}} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & \underline{\lambda_{n}} \end{array} \right]^n = \left[ \begin{array}{cccc} \underline{\lambda_{1}^n} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\ 0 & \underline{\lambda_{2}^n} & \ldots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & \underline{\lambda_{n}^n} \end{array} \right]$$

多項式は、行列の累乗にスカラー倍したものを色々足し合わせたものにすぎません。ですので、ある三角行列$W$の対角成分の 1 つを$w_i$とした時、$W$を多項式に代入してできた行列$f(W)$における同位置の対角成分は$f(w_i)$となります。

$P^{-1}AP$は、対角成分として各固有値$\lambda_{1}$ 〜 $\lambda_{n}$をもつ三角行列です。ですので、$f(P^{-1}AP)$の対角成分は、多項式$f(X)$に各固有値を代入した$f(\lambda_{1})$ 〜 $f(\lambda_{n})$で構成されることがいえます。

$$f(P^{-1}AP) = \left[ \begin{array}{cccc} f(\lambda_{1}) & c_{12} & \ldots & c_{1n} \\ 0 & f(\lambda_{2}) & \ldots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & f(\lambda_{n}) \end{array} \right]$$

ところで、上で導いた等式$P^{-1}f(A)P=f(P^{-1}AP)$から、$P^{-1}f(A)P$が三角行列であることがいえます。つまり、$P$を用いて行列$f(A)$を三角化したことに他なりません。三角化に関する記事の中で扱いましたが、三角化により生み出した三角行列の対角成分は元の行列の固有値です。

ゆえに、$f(A)$の固有値は、$f(\lambda_1)$ 〜 $f(\lambda_n)$であることが言えました。

一緒に例題を計算しよう！

簡単な行列を計算してフロベニウスの定理が実際に成立することを確かめてみましょう。

例として、2 次正方行列$A$と、多項式$f(X)$を次のように定めました。

$$A = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{array} \right]$$ $$f(X) = X^2 + 3X - E$$

ちなみに、$A$の固有値は、「2」と「3」です！（一応理由 ↓）

$$\begin{aligned} |A-tE| &= (1-t)(4-t)-2*(-1) \\ &= t^2 - 5t + 6 \\ &= (t-2)(t-3) \end{aligned}$$

1. 多項式に行列を入れてみる

多項式に行列$A$を入れてできた行列$f(A)$を計算しましょう。

下準備として$A^2$を計算しておきました。

$$A^2 = \left[ \begin{array}{cc} -1 & 10 \\ -5 & 14 \end{array} \right]$$

それでは$f(A)$を計算しましょう。

$$\begin{aligned} f(A) &= A^2 + 3A - E \\ &= \left[ \begin{array}{cc} -1 & 10 \\ -5 & 14 \end{array} \right] + 3\left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{cc} -1+3*1-1 & 10+3*2-0 \\ -5+3*(-1)+0 & 14+3*4-1 \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{cc} 1 & 16 \\ -8 & 25 \end{array} \right] \end{aligned}$$

これで、$f(A)$が求まりました。

2. 固有値を比較する

行列$f(A)$の固有値を求めましょう。

$$\begin{aligned} |f(A)-tE| &= (1-t)(25-t)-16*(-8) \\ &= t^2 - 26t + 153 \\ &= (t-9)(t-17) \end{aligned}$$

よって、行列$f(A)$の固有値は「9」と「17」です！

ところで、$A$の固有値「2」と「3」をそれぞれ多項式$f(X)$に入れたらどうなるのでしょうか。スカラーは 1 次の行列とみることができます。$f(2)$と$f(3)$はそれぞれ次のようになります。

$$\begin{aligned} f(2) &= 2^2 + 3*2 - 1 = \underline{9} \\ f(3) &= 3^2 + 3*3 - 1 = \underline{17} \end{aligned}$$

まあ不思議、この組み合わせは行列$f(A)$の固有値と一致するではありませんか。

以上から、$f(A)$の固有値が、行列$A$の固有値を多項式$f(X)$に通した時の値であることが分かりました。

おわりに

今回はフロベニウスの定理を解説しました！

これでひとまず【固有値編】はおしまいです。お疲れ様でした！