【線形空間編】基底と次元と成分

こんにちは、おぐえもん(@oguemon_com)です。

前回の記事では、そもそも線形空間とはどのようなものなのかについて、基本からお話ししました。

今回は、線形空間（ベクトル空間）の世界における基底や次元などの概念に関するお話をしたいと思います。空間ベクトルで扱った時のようなお話ですので、空間ベクトルの復習にもなるかもしれません。

それでは始めましょ〜！

1次独立と1次従属の復習

線形代数を勉強する中で嫌ほど聞いてきたことと思いますが、やっぱり重要なので 1 次独立と 1 次従属の定義について改めて触れましょう。ただし、ここでは線形空間としての定義について書くので、今までとはほんの少し異なります。

空間ベクトルの時と異なり、定義の中に「線形空間」の文言が加えられていることに着目です。ここでのベクトルは、向きと長さを持つ空間ベクトルのことだけでなく、「線形空間の条件を満たすあらゆる集合」の要素のことを言います。

基底

基底って何？

$xy$平面における「$x$軸ベクトル＆$y$軸ベクトル」という組のようなものを、線形空間の世界では「基底」と呼びます。こんな説明では感覚的すぎるので、平面以外にも色んなものをターゲットとしている線形空間の世界にふさわしい、もう少し抽象的なお話を進めましょう。

線形空間では、ある 2 つの条件を満たすようなベクトルの組を基底と呼びます。

ここでは、わざわざ 2 つの条件を提示しましたが、この 2 条件は次の 1 つの条件に凝縮できます。

基底とは、ある線形空間内の「全て」の要素を「それぞれ 1 通りで」表現できるようなベクトルの組のことを言うんですね。例えば、$xy$平面における「$x$軸ベクトル＆$y$軸ベクトル」の組は、平面上の全ての点を「$\lambda\boldsymbol{x}+\mu\boldsymbol{y}$」の形で一意に記述できるから基底と言えるわけです。

標準基底

$n$次の行ベクトル（$[a_1 \ a_2 \ ... \ a_n]$）の集合は線形空間であり、$n$次の行ベクトル空間と呼ばれます。

ここで、$n \times n$の単位行列を行ごとに切り分けて作った行ベクトル$\boldsymbol{e_1},...,\boldsymbol{e_n}$を用意します。$\boldsymbol{e_i}$は、左から$i$番目が$1$で、それ以外は$0$の成分を持ちます。

$$\boldsymbol{e_i}=[0 \ 0 \ ... \ \underbrace{1}_{i \text{番目}} \ ... \ 0]$$

このとき、行ベクトル$\boldsymbol{e_1}$〜$\boldsymbol{e_n}$は、1 次独立である上に、これらのベクトルの 1 次結合で$n$次の行ベクトルの全てを表すことができます。すなわち、 $\boldsymbol{e_1}$〜$\boldsymbol{e_n}$の組は基底 であるわけです。この基底は長さが一定であることをはじめ色々使い勝手が良いので、特に標準基底と呼びます。

次元

ある線形空間の基底の取り方はたくさんあります。しかし、実は基底を構成するベクトルの数は固定なんですよね（証明については多分授業で先生が張り切って板書してくれると思うんでそちらを聞いてください）。

基底を構成するベクトルの個数のことを次元と呼びます。

例えば、$xy$平面は「$x$軸ベクトル＆$y$軸ベクトル」の 2 つのベクトルで基底をなすので、次元は 2 です。

当たり前の話でもあるのですが、ある線形空間$V$について、次の 3 つの命題は同値です。

1. $\dim V=n$（つまり次元は$n$）
2. $V$に含まれる1次独立なベクトルの最大の数は$n$
3. 全てのベクトルが、$x_1\boldsymbol{a_1}+x_2\boldsymbol{a_2}+...+x_n\boldsymbol{a_n}$の形で一意に記述できる

成分

線形空間$V$は、次元が$n$で、$\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},...,\boldsymbol{a_n}$を基底とします。$V$内のあるベクトル$\boldsymbol{x}$は、

$$\boldsymbol{x} = x_1\boldsymbol{a_1}+x_2\boldsymbol{a_2}+...+x_n\boldsymbol{a_n}$$

の形で一意に表すことができるのですが、ベクトルの順番を固定すれば、わざわざベクトルを書かずともベクトルの係数$x_i$の組み合わせだけでベクトル$\boldsymbol{x}$を表現することができます。

そのような$x_i$の組み合わせをベクトル$\boldsymbol{x}$の基底$\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},...,\boldsymbol{a_n}$に関する成分といい、

$$\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,...,x_n)$$

という形で記述します。

例えば、高校数学で$xy$平面上の点の位置を$A=(2,5)$みたいな感じで表現していましたが、これって、点$A$の位置ベクトル$\boldsymbol{a}$が「$\boldsymbol{a}=2\boldsymbol{x}+5\boldsymbol{y}$」であることを成分を用いて表していたのですね。

成分の集合は、線形空間です。すなわち、成分同士の演算の性質を考える際はベクトル同士の演算と同じように考えることができます。

おわりに

今回は、線形空間における基底の定義と、基底をなすベクトルの数（次元）、そして基底の係数をまとめた「成分」の学習をしました。

次回は、線形空間のある基底を用いて別の基底を作る「変換」のお話をしたいと思います！

1 つの基底を変換してたくさんの基底を作る！＞＞