【線形写像編】線形写像って何？"核"や"同型"と一緒に解説

2021年12月18日作成2021年12月18日更新

こんにちは、おぐえもん(@oguemon_com)です。

前回の記事では、写像の基本に関する話をしました。

今回からは、線型空間をターゲットにした議論が始まります。線形写像編のテーマである「線形写像」と、線形写像の中でも一定の条件を満たしたものである「同型写像」を扱います。

線形写像

ここでは、線型空間から線型空間への写像を考えます。このような写像の中で、一定の条件を満たすものを線形写像といいます。

線型写像

$F$ 上の線型空間 $V,W$ に対して、写像 $f: V \rightarrow W$ が定義されている。

$f$ が次の 2 条件をともに満たすとき、 $f$ は $V$ から $W$ への線形写像と言う。

任意の2要素 $\mathbf{a}, \mathbf{b} \in V$ に対して、次式が成立。 $f(\mathbf{a} + \mathbf{b}) = f(\mathbf{a}) + f(\mathbf{b})$
任意の要素 $\mathbf{a} \in V$ と任意のスカラー $\lambda \in F$ に対して、次式が成立。 $f(\lambda\mathbf{a}) = \lambda f(\mathbf{a})$

そして、この 2 つを併せ持つ性質を、線形性といいます。線形代数という科目は、線形性がテーマであり、それを持つものの性質を探るのが議論の対象でした。初回記事から 40 以上の記事を経て、ようやく線形代数の本質にたどり着きました！

線形写像の中でも、線型空間 $V$ から $V$ 自身へのもの（ $f: V \rightarrow V$ ）は線形変換または1 次変換といいます。

線型空間には、零ベクトルという要素が存在しました。ある線形写像について、零ベクトルに対応する元の要素の集合を核といいます。

核

線形写像 $f: V \rightarrow W$ について、 $f(\mathbf{a}) = \mathbf{o}$ を満たす $\mathbf{a}$ の集合を $V$ の $f$ による核といい、 $\mathrm{Ker} f$ と書く。

核 $\mathrm{Ker} f$ が集合 $V$ の部分集合であることは定義から明らかですが、実は $V$ の部分空間でもあります。

線形写像の中でも全単射のものを同型写像と言います。

線形空間 $V,W$ に対して、写像 $f: V \rightarrow W$ が線形写像でかつ全単射のとき、 $f$ を $V$ から $W$ の上の同型写像という。

同型写像をもつ 2 つの線型空間の関係性を表す同型という言葉があります。

線形空間 $V,W$ に対して、同型な写像 $f: V \rightarrow W$ が存在するとき、 $V$ は $W$ に同型であるといい、 $V \cong W$ と書く。

ざっくり言うなら、同型な 2 つの線形空間は、線形空間としてほぼ同じものです。同型写像を用いることで、

状態を実現できるからです。

線形空間の理論は結局のところ、集合内の何らかの要素に対して和とスカラー倍をこねくりまわすことが原点にあります。上の 2 つを実現できる 2 集合は、線形空間として本質的に同じと言っても過言でないペアなのです。