【連立方程式編】1次独立と1次従属

こんにちは、おぐえもん(@oguemon_com)です。

前回の記事では、連立方程式と正則行列の間にある関係について具体例を挙げながら解説しました！

今回は、高校でもおなじみの「1次独立」について扱います。前半こそ易しいですが、後半は連立方程式編の中でも大きな山場となります。それでは早速行きましょう！

目次（クリックで該当箇所へ移動）

1次独立と1次従属

「1次独立」って？

1次独立とは、複数のベクトルで構成されたグループについて、あるベクトルが他のベクトルの実数倍や、その和で表せない状態を言います。
教科書なんかでよく見る、数式を用いた厳密な定義はこんな感じ。

1次独立

$p$個の$n$次元行（or列）ベクトル$\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},\cdots,\boldsymbol{a_p}$に対して、
$$x_1\boldsymbol{a_1}+x_2\boldsymbol{a_2}+\cdots+x_p\boldsymbol{a_p}=\boldsymbol{o}$$が成り立つのが
$$x_1=x_2=\cdots=x_p=0$$の時のみであるとき、$\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},\cdots,\boldsymbol{a_p}$は1次独立であるという。

1次独立の反対に当たる状態が、1次従属です。すなわち、あるベクトルが他のベクトルの実数倍や、その和で表せる状態です。また、あるベクトルに対して他のベクトルの実数倍や、その和で表したものを1次結合と呼びます。
$$\boldsymbol{x_0}=\underbrace{5\boldsymbol{x_1}+2\boldsymbol{x_2}-3\boldsymbol{x_3}}_{これが1次結合}$$

1次独立の例

次のベクトルを考えましょう。
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{a_1}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
2
\end{array}
\right), \
\boldsymbol{a_2}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
4
\end{array}
\right), \
\boldsymbol{a_3}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}
まずは、$\boldsymbol{a_1}$を$x\boldsymbol{a_2}+y\boldsymbol{a_3}$の形式で表そうと思ったときを考えましょう。
1行目成分を比較すると、$y$の値は1しか有りえなくなります。そのことを念頭に置いた上で2行目成分を比較すると、$x$は-1しか候補になくなるのですが、この時、右辺の3行目成分が$-1*4+1*1=-3$となり、明らかに$\boldsymbol{a_1}$のそれと等しくならないのでNGです。

次に、$\boldsymbol{a_2}$についても、2行目成分の比較からスタートすると同様の話に行き着きます。

そして、$\boldsymbol{a_3}$については、1行目と2行目の成分を「1」にしたければ、$\boldsymbol{a_1}+\boldsymbol{a_2}$にする他ないのですが、その時、3行目の成分が「6」になってNGです。

以上から、この3ベクトルは互いに実数倍の和の形式で表すことができず、よって1次独立と言えます。

1次独立の定義に従って、
$$x_1\boldsymbol{a_1}+x_2\boldsymbol{a_2}+x_3\boldsymbol{a_3}=\boldsymbol{o}$$を満たす$x_1,x_2,x_3$を探してみても、「$x_1=x_2=x_3=0$」が導かれることを確かめてみよう！

1次従属の例

実際、$$x_1\boldsymbol{a_1}+x_2\boldsymbol{a_2}+x_3\boldsymbol{a_3}=\boldsymbol{o}$$となる場合を探ると、$(x_1,x_2,x_3)=(2,-1,-1)$が導かれます（厳密な答えは、これの実数倍$(2\lambda,-\lambda,-\lambda)$ですけどね）。

2次独立って無いのかよオラ！

高2の数学Bで抱いた疑問。「1次」があるなら「2次、3次…」もあるんじゃないのと思いがちですが、この先「2次独立」などは登場しません！
そもそも「1次独立」は英語で「linearly independent」といい、どちらかといえば「線形独立」というべき言葉です（実際、線形独立と呼ばれる例も多いです）。
「線形」という言葉が「1次」の式と深く結びついていることから「1次独立」と訳された(であろう)ことに過ぎず、$n$次独立という概念の一部というわけでないことに注意です！！

1次独立と連立方程式

上の例で1次独立の判定を試してみたとき、どんな方法を使いましたか？
「1次独立の例」では、
$$
x_1\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
2
\end{array}
\right)+x_2\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
4
\end{array}
\right)+x_3\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1
\end{array}
\right)=
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0
\end{array}
\right)
$$から
$$
\left\{
\begin{array}{rrrcl}
1x_1&+0x_2&+1x_3&=&0 \\
0x_1&+1x_2&+1x_3&=&0 \\
2x_1&+4x_2&+1x_3&=&0
\end{array}
\right.
$$という連立方程式を作ってチマチマ解いたことと思います。
結局、一次独立か否かの問題は、連立方程式の解の問題と結びつきそうです。

列ベクトルの1次独立と階数

上記の例で、もし連立方程式の解がオール0の（つまり自明解しか持たない）とき、列ベクトル達は1次独立となります。つまり同次形の連立方程式の解と階数の関係から、

列ベクトル$\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},\cdots,\boldsymbol{a_r}$が一次独立
$\Leftrightarrow$連立方程式$\left[
\begin{array}{rrrcl}
\boldsymbol{a_1} & \boldsymbol{a_2} & \cdots & \boldsymbol{a_r}
\end{array}
\right]
\left(
\begin{array}{rrrcl}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_r
\end{array}
\right)
=\boldsymbol{o}$が自明解しか持たない
$\Leftrightarrow$列ベクトルを横に繋げた行列$[\boldsymbol{a_1} \ \boldsymbol{a_2} \ \cdots \boldsymbol{a_r}]$の階数は$r$

が成立します。

逆に、$\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},\cdots,\boldsymbol{a_r}$が一次従属のときは、対応する連立方程式が$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{o}$以外の解（非自明解）を持つので、階数が$r$未満となります。

以上をまとめると次の通り。

1次独立な列ベクトルと行列の階数

$r$個の列ベクトル$\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2}, \cdots ,\boldsymbol{a_r}$が1次独立 $ \Leftrightarrow {\rm rank}[\boldsymbol{a_1} \ \boldsymbol{a_2} \ \cdots \ \boldsymbol{a_r}]=r$

$r$個の列ベクトル$\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2}, \cdots ,\boldsymbol{a_r}$が1次従属 $ \Leftrightarrow {\rm rank}[\boldsymbol{a_1} \ \boldsymbol{a_2} \ \cdots \ \boldsymbol{a_r}] < r$

1次独立と行基本操作

行列を階段行列にする中で、ある行が全て0になる場合がありました。行基本操作は、「ある行を数倍する」「ある行を数倍したものを他の行に加える」「行同士を入れ替える」の3つです。よって、行基本操作を経て、ある行が全て0になるという状況は、消えた行が元々他の行ベクトルの1次結合に等しかったことを示します。

【例】3行目に2行目の4倍を加え、さらに5行目の-2倍を加えたら、3行目が全て0になった
$\Leftrightarrow (3行目)+4 \times (2行目)-2 \times (5行目)=(0 \ 0 \ \cdots \ 0)$
行列を行ごとに分割し、$i$行目の行ベクトルを$\boldsymbol{a_i}$とすると、
$$\boldsymbol{a_3}=-4\boldsymbol{a_2}+2\boldsymbol{a_5}$$となり、$\boldsymbol{a_3}$が$\boldsymbol{a_2}$と$\boldsymbol{a_5}$の一次結合で表される。

つまり、ある行列を階段行列に変形する作業は、行列の行ベクトルの中で、1次結合で表せるものを排除し、零ベクトルでない行ベクトルの組を1次独立にする作業と言えます（階段行列を構成する非零の行ベクトルをこれ以上消せないことは、階段行列の定義からokですよね！？）。階段行列の階数は、行列を構成する行ベクトルの中で1次独立なものの最大個数というわけです。（「最大個数」であることに注意！例えば、5つのベクトルが1次独立である場合、その中の2つの行列についても1次独立であると言えるので、「1次独立なものの個数」というと、階数以下の自然数全てとなります。）

階数はいつも一つ！

「列ベクトルの1次独立と階数」「1次独立と行基本操作」でのお話から、次のことが言えます。

階数とは何か

$m$行$n$列行列$A$について、
${\rm rank}A$
$=n$個の列ベクトルのうち、1次独立なものの最大個数
$=m$個の行ベクトルのうち、1次独立なものの最大個数
が成立する。

これはすなわち、行列の階数は、階段行列の作り方によらず一意であることを表しています！
（ここではページの都合と、当カテゴリーの趣旨から、厳密な議論を省略しています。この結論が導かれる詳しい経緯と証明は教科書を見てください）