【行列式編】行列式の定義

こんにちは、おぐえもん(@oguemon_com)です。

前回の記事で置換についてバッチリ学習できたと思います。いよいよ行列式の定義について扱いたいと思います。

行列式の定義

行列式の定義は、置換の概念がふんだんに用いられた形になっています。

定義は次の通り。

簡単に言えば、こんな感じ。

まだ分かりにくいと思うので、例を示します。

行列式を求める例

超シンプルに、2次の正方行列を例に挙げます。

$$A=\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right)$$

まずは、全ての置換を列挙します。2文字の置換は$2!=2$通り。以下の二つです。

$$\sigma_1 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} \right), \ \sigma_2 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right)$$

ここで、$\sigma_1$は偶置換、$\sigma_2$は奇置換ですので、両者の符号は

$${\rm sgn}(\sigma_1)=1, \ {\rm sgn}(\sigma_2)=-1$$

ですよね。偶（奇）置換や、置換の符号については前回の記事をご覧あれ。

さて、行列式を求めていきましょう。

置換$\sigma_1$から手をつけます。$\sigma_1$では、

$$\sigma(1)=1, \ \sigma(2)=2$$

ですので、1行1列成分の「$a_{11}$」と、2行2列成分の「$a_{22}$」を掛け合わせます。（$a_{11}a_{22}$）。

置換$\sigma_1$の符号は$\underline{1}$なので、$\underline{+a_{11}a_{22}}$ですね。

次に置換$\sigma_2$を扱います。$\sigma_2$では、

$$\sigma(1)=2, \ \sigma(2)=1$$

でしたので、1行2列成分の「$a_{12}$」と、2行1列成分の「$a_{21}$」を掛け合わせます（$a_{12}a_{21}$）。

置換$\sigma_2$の符号は$\underline{-1}$なので、$\underline{-a_{12}a_{21}}$ですね。

以上から、

$$\begin{aligned} |A| &={\rm sgn}(\sigma_1)a_{1\sigma_1(1)}a_{2\sigma_1(2)}+{\rm sgn}(\sigma_2)a_{1\sigma_2(1)}a_{2\sigma_2(2)} \\ &=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \end{aligned}$$

が導かれました。

これは以前の記事で扱った 2 次正方行列における行列式の定義と同じです。以前に与えた「公式」たちは、こういった複雑な定義に基づき導かれたものだったのです。

余力がある人は 3 次正方行列の行列式も導いてみましょう！（前回の記事で扱った例が役に立ちます！）

行列式について押さえておくと捗ること

• 足し引きされる項の数は、全部で$n!$個です。これは、置換の総数から明らかですね。
• 足す項と引く項は同数です。これは、$n$文字の置換の総パターンの中で、奇置換と偶置換が同数だからです。
• 足し引きされる項のそれぞれは、絶対に 「ある行から1つ」かつ「ある列から1つ」の成分を掛け算したものになっています。 つまり、同じ行または同じ列の2成分を掛け合わすことはありません（$a_{12}a_{22}$みたいな項は現れない）。これは、これから扱う行列式の性質をイメージする上で重要です！！

おわり

行列式の定義については以上です。次回は、行列式の性質について説明したいと思います。